El quinto postulado de Euclides

Alguien me dijo una vez que "si sales a jugar con las Matemáticas, deja el sentido común en casa y no salgas sin la intuición". Esta simpática frase está lejos de ser inocente. Todo matemático sabe que es una verdad muy fuerte y algo que siempre hay que tener en mente. La historia que os voy a contar hoy es un gran ejemplo de ello.

Sin duda, la geometría, junto con la aritmética, es la rama más antigua de la matemática. Se puede decir que empezó con la visión de Euclides de que todo lo que se sabía sobre geometría se podía reducir a unas reglas básicas y, a partir de ellas, construir todo el edificio otra vez. Esta intuición es todo un logro del pensamiento humano ya que ahora prácticamente todas las ciencias siguen el mismo patrón.

Así pues, Euclides, alrededor del año 300 antes de Cristo formuló los cinco postulados (por lo que nos interesa, diremos que son verdades auto evidentes) de los que se derivaría absolutamente toda la geometría. Son estos:

1- A partir de un punto, se puede trazar una recta a cualquier otro punto
2- Toda recta puede prolongarse indefinidamente
3- Dado cualquier centro y cualquier radio, puede construirse un círculo
4- Todos los ángulos rectos son iguales
5- Pasando por un punto exterior a una recta, podemos trazar una y solo una recta paralela a la recta ya existente.

Estos cinco postulados permitieron clasificar y desarrollar la geometría durante prácticamente dos mil años con un éxito más que rotundo. Pero como todo, poco a poco el sistema empezó a temblar.

A simple vista, uno ya se da cuenta que el quinto postulado, también llamado axioma de Playfair (puesto que la manera como lo hemos anunciado es de John Playfair), no es tan simple como los demás. Pronto se empezó a sospechar sobre la posibilidad de que este postulado no podía ser tratado como tal, sino que podría ser un resultado de los otros cuatro, convirtiéndose en teorema. Durante varios siglos fueron muchos los matemáticos que intentaron desarrollar el axioma de Playfair a partir de los cuatro postulados restantes de Euclides, pero no se obtuvo ningún resultado.

No fue hasta el siglo XIX, dos mil años después de Euclides, que un grupo de matemáticos (Gauss -hablaré de este fenómeno algún día-, Lobachevski, Bolay y otros) encontraron un resultado totalmente inesperado y sorprendente. Usaron una técnica tan usada en matemáticas: la reducción al absurdo. Quitamos el axioma de Playfair y en su lugar tenemos en cuenta su negación. Entonces, si llegamos a una contradicción lógica (pero no una contradicción al sentido común, ya que éste no hace más que afirmar la veracidad del quinto postulado) es que hemos tenido en cuenta una premisa falsa: que el quinto postulado es falso, lo que quiere decir que se deduce de los otros cuatro.

Así, tenemos las dos negaciones del axioma de Playfair:

5*- Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a la recta dada.
5**- Por un punto exterior a una recta pasan dos o más rectas paralelas a la recta dada.

Vemos que estos dos anunciados chocan frontalmente con nuestro sentido común. Por eso, la sorpresa fue mayúscula cuando se vio que asumir alguna de las dos negaciones del quinto postulado no era fuente de ninguna contradicción. De hecho, a partir de los cuatro axiomas de Euclides y una de las negaciones surgían teoremas de una manera totalmente natural sin llegar a contradicción alguna: nacía un nuevo tipo de geometría.

La geometría hiperbólica (o geometría Lobachevskiana) fue la primera geometría no euclídea que se descubrió, donde los ángulos de un triángulo suman menos que 180º (recordemos que éstos siempre suman 180º en la geometría Euclídea), como puede verse en la siguiente imagen:

El lector sabrá ver el problema: ¡esto no son triángulos! De hecho, ¡ni siquiera sus lados son "rectos"! Efectivamente, no son triángulos euclídeos y, como nuestro espacio, localmente (volveré a esto más tarde), es euclídeo, ¡no hay manera de representar esta geometría! Lo que sucede es algo bastante notable: el concepto de distancia y, por lo tanto, el concepto de recta ha cambiado con el paso a una geometría no euclídea. Una recta euclídea era una sucesión de puntos en cierta dirección. Si conseguimos deshacernos de este concepto de recta y solamente tener en cuenta que "la distancia mínima entre dos puntos viene dada por una línea recta", nos encontramos que los nuevos triángulos que hemos creado, en las geometrías no euclídeas, dado a que el concepto de distancia ha cambiado, éstos son, efectivamente, triángulos. Aunque sus ángulos no sumen 180º.

Hay otro hecho derivado de todo esto realmente importante. En un espacio euclídeo, como el nuestro, no tenemos ningún patrón para decir si algo es "grande" o "pequeño". Es decir, el concepto de medida es algo absolutamente subjetivo que se hace por el mero acto de comparar una magnitud con otra. Es decir, dada una magnitud, no podemos saber si esta es "grande" o "pequeña" si no es que la comparamos con algo, aunque sea con nuestra propia estatura. Esto no sucede, por ejemplo, con los ángulos: pi es la base de todos los ángulos y no hay discusión. Habrán ángulos más pequeños que otros, pero cualquier observador podrá determinar la "magnitud" de un ángulo dado aún sin tenerlo que comparar con absolutamente ningún otro ángulo. Lo mismo sucede con las longitudes en un espacio hiperbólico: tenemos otro criterio totalmente objetivo y libre para catalogar una magnitud. Este notable hecho indujo a Gauss a pensar que el espacio, el universo donde vivimos no sea euclídeo, sino que posea una estructura hiperbólica. El olfato de este hombre era increíble.

Unos cien años más tarde, Einstein y su relatividad general (quizá también hable algún día sobre ella) confirmaban que, efectivamente, el universo posee una estructura no-euclídea a grandes escalas y una estructura euclídea local, que es la que nosotros percibimos y que nos ha llevado a creer, erróneamente, que todos los triángulos suman 180º y que todas las líneas "rectas" eran rectas.



Y es que estas pequeñas pinceladas sobre este apasionante pedacito de historia es una de las muestras más bellas e inquietantes del pensamiento humano: una idea sorprendente que, milenios más tarde, es puesta en duda en contra del sentido común y que, finalmente, desemboca en una concepción del universo totalmente inesperada y sorprendente. Y es que la belleza de todo recae en ello: ideas simples y sencillas, al alcance de la comprensión de todo el mundo, que tienen implicaciones fuertes sobre la naturaleza misma del universo en el que habitamos. Y es que uno, cuando llega a este punto, solo puede sonreír y pensar en lo maravilloso que debe ser todo lo que aún queda por ver.