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martes, 21 de agosto de 2007
Dulce, dulce hogar
Hoy algo ligero: acojonantes fotografías vía satélite de nuestro precioso planeta. Pinchad para ampliar.
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viernes, 17 de agosto de 2007
El quinto postulado de Euclides
Alguien me dijo una vez que "si sales a jugar con las Matemáticas, deja el sentido común en casa y no salgas sin la intuición". Esta simpática frase está lejos de ser inocente. Todo matemático sabe que es una verdad muy fuerte y algo que siempre hay que tener en mente. La historia que os voy a contar hoy es un gran ejemplo de ello.
Sin duda, la geometría, junto con la aritmética, es la rama más antigua de la matemática. Se puede decir que empezó con la visión de Euclides de que todo lo que se sabía sobre geometría se podía reducir a unas reglas básicas y, a partir de ellas, construir todo el edificio otra vez. Esta intuición es todo un logro del pensamiento humano ya que ahora prácticamente todas las ciencias siguen el mismo patrón.
Así pues, Euclides, alrededor del año 300 antes de Cristo formuló los cinco postulados (por lo que nos interesa, diremos que son verdades auto evidentes) de los que se derivaría absolutamente toda la geometría. Son estos:
1- A partir de un punto, se puede trazar una recta a cualquier otro punto
2- Toda recta puede prolongarse indefinidamente
3- Dado cualquier centro y cualquier radio, puede construirse un círculo
4- Todos los ángulos rectos son iguales
5- Pasando por un punto exterior a una recta, podemos trazar una y solo una recta paralela a la recta ya existente.
Estos cinco postulados permitieron clasificar y desarrollar la geometría durante prácticamente dos mil años con un éxito más que rotundo. Pero como todo, poco a poco el sistema empezó a temblar.
A simple vista, uno ya se da cuenta que el quinto postulado, también llamado axioma de Playfair (puesto que la manera como lo hemos anunciado es de John Playfair), no es tan simple como los demás. Pronto se empezó a sospechar sobre la posibilidad de que este postulado no podía ser tratado como tal, sino que podría ser un resultado de los otros cuatro, convirtiéndose en teorema. Durante varios siglos fueron muchos los matemáticos que intentaron desarrollar el axioma de Playfair a partir de los cuatro postulados restantes de Euclides, pero no se obtuvo ningún resultado.
No fue hasta el siglo XIX, dos mil años después de Euclides, que un grupo de matemáticos (Gauss -hablaré de este fenómeno algún día-, Lobachevski, Bolay y otros) encontraron un resultado totalmente inesperado y sorprendente. Usaron una técnica tan usada en matemáticas: la reducción al absurdo. Quitamos el axioma de Playfair y en su lugar tenemos en cuenta su negación. Entonces, si llegamos a una contradicción lógica (pero no una contradicción al sentido común, ya que éste no hace más que afirmar la veracidad del quinto postulado) es que hemos tenido en cuenta una premisa falsa: que el quinto postulado es falso, lo que quiere decir que se deduce de los otros cuatro.
Así, tenemos las dos negaciones del axioma de Playfair:
5*- Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a la recta dada.
5**- Por un punto exterior a una recta pasan dos o más rectas paralelas a la recta dada.
Vemos que estos dos anunciados chocan frontalmente con nuestro sentido común. Por eso, la sorpresa fue mayúscula cuando se vio que asumir alguna de las dos negaciones del quinto postulado no era fuente de ninguna contradicción. De hecho, a partir de los cuatro axiomas de Euclides y una de las negaciones surgían teoremas de una manera totalmente natural sin llegar a contradicción alguna: nacía un nuevo tipo de geometría.
La geometría hiperbólica (o geometría Lobachevskiana) fue la primera geometría no euclídea que se descubrió, donde los ángulos de un triángulo suman menos que 180º (recordemos que éstos siempre suman 180º en la geometría Euclídea), como puede verse en la siguiente imagen:
El lector sabrá ver el problema: ¡esto no son triángulos! De hecho, ¡ni siquiera sus lados son "rectos"! Efectivamente, no son triángulos euclídeos y, como nuestro espacio, localmente (volveré a esto más tarde), es euclídeo, ¡no hay manera de representar esta geometría! Lo que sucede es algo bastante notable: el concepto de distancia y, por lo tanto, el concepto de recta ha cambiado con el paso a una geometría no euclídea. Una recta euclídea era una sucesión de puntos en cierta dirección. Si conseguimos deshacernos de este concepto de recta y solamente tener en cuenta que "la distancia mínima entre dos puntos viene dada por una línea recta", nos encontramos que los nuevos triángulos que hemos creado, en las geometrías no euclídeas, dado a que el concepto de distancia ha cambiado, éstos son, efectivamente, triángulos. Aunque sus ángulos no sumen 180º.
Hay otro hecho derivado de todo esto realmente importante. En un espacio euclídeo, como el nuestro, no tenemos ningún patrón para decir si algo es "grande" o "pequeño". Es decir, el concepto de medida es algo absolutamente subjetivo que se hace por el mero acto de comparar una magnitud con otra. Es decir, dada una magnitud, no podemos saber si esta es "grande" o "pequeña" si no es que la comparamos con algo, aunque sea con nuestra propia estatura. Esto no sucede, por ejemplo, con los ángulos: pi es la base de todos los ángulos y no hay discusión. Habrán ángulos más pequeños que otros, pero cualquier observador podrá determinar la "magnitud" de un ángulo dado aún sin tenerlo que comparar con absolutamente ningún otro ángulo. Lo mismo sucede con las longitudes en un espacio hiperbólico: tenemos otro criterio totalmente objetivo y libre para catalogar una magnitud. Este notable hecho indujo a Gauss a pensar que el espacio, el universo donde vivimos no sea euclídeo, sino que posea una estructura hiperbólica. El olfato de este hombre era increíble.
Unos cien años más tarde, Einstein y su relatividad general (quizá también hable algún día sobre ella) confirmaban que, efectivamente, el universo posee una estructura no-euclídea a grandes escalas y una estructura euclídea local, que es la que nosotros percibimos y que nos ha llevado a creer, erróneamente, que todos los triángulos suman 180º y que todas las líneas "rectas" eran rectas.
Y es que estas pequeñas pinceladas sobre este apasionante pedacito de historia es una de las muestras más bellas e inquietantes del pensamiento humano: una idea sorprendente que, milenios más tarde, es puesta en duda en contra del sentido común y que, finalmente, desemboca en una concepción del universo totalmente inesperada y sorprendente. Y es que la belleza de todo recae en ello: ideas simples y sencillas, al alcance de la comprensión de todo el mundo, que tienen implicaciones fuertes sobre la naturaleza misma del universo en el que habitamos. Y es que uno, cuando llega a este punto, solo puede sonreír y pensar en lo maravilloso que debe ser todo lo que aún queda por ver.
Sin duda, la geometría, junto con la aritmética, es la rama más antigua de la matemática. Se puede decir que empezó con la visión de Euclides de que todo lo que se sabía sobre geometría se podía reducir a unas reglas básicas y, a partir de ellas, construir todo el edificio otra vez. Esta intuición es todo un logro del pensamiento humano ya que ahora prácticamente todas las ciencias siguen el mismo patrón.
Así pues, Euclides, alrededor del año 300 antes de Cristo formuló los cinco postulados (por lo que nos interesa, diremos que son verdades auto evidentes) de los que se derivaría absolutamente toda la geometría. Son estos:
1- A partir de un punto, se puede trazar una recta a cualquier otro punto
2- Toda recta puede prolongarse indefinidamente
3- Dado cualquier centro y cualquier radio, puede construirse un círculo
4- Todos los ángulos rectos son iguales
5- Pasando por un punto exterior a una recta, podemos trazar una y solo una recta paralela a la recta ya existente.
Estos cinco postulados permitieron clasificar y desarrollar la geometría durante prácticamente dos mil años con un éxito más que rotundo. Pero como todo, poco a poco el sistema empezó a temblar.
A simple vista, uno ya se da cuenta que el quinto postulado, también llamado axioma de Playfair (puesto que la manera como lo hemos anunciado es de John Playfair), no es tan simple como los demás. Pronto se empezó a sospechar sobre la posibilidad de que este postulado no podía ser tratado como tal, sino que podría ser un resultado de los otros cuatro, convirtiéndose en teorema. Durante varios siglos fueron muchos los matemáticos que intentaron desarrollar el axioma de Playfair a partir de los cuatro postulados restantes de Euclides, pero no se obtuvo ningún resultado.
No fue hasta el siglo XIX, dos mil años después de Euclides, que un grupo de matemáticos (Gauss -hablaré de este fenómeno algún día-, Lobachevski, Bolay y otros) encontraron un resultado totalmente inesperado y sorprendente. Usaron una técnica tan usada en matemáticas: la reducción al absurdo. Quitamos el axioma de Playfair y en su lugar tenemos en cuenta su negación. Entonces, si llegamos a una contradicción lógica (pero no una contradicción al sentido común, ya que éste no hace más que afirmar la veracidad del quinto postulado) es que hemos tenido en cuenta una premisa falsa: que el quinto postulado es falso, lo que quiere decir que se deduce de los otros cuatro.
Así, tenemos las dos negaciones del axioma de Playfair:
5*- Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a la recta dada.
5**- Por un punto exterior a una recta pasan dos o más rectas paralelas a la recta dada.
Vemos que estos dos anunciados chocan frontalmente con nuestro sentido común. Por eso, la sorpresa fue mayúscula cuando se vio que asumir alguna de las dos negaciones del quinto postulado no era fuente de ninguna contradicción. De hecho, a partir de los cuatro axiomas de Euclides y una de las negaciones surgían teoremas de una manera totalmente natural sin llegar a contradicción alguna: nacía un nuevo tipo de geometría.
La geometría hiperbólica (o geometría Lobachevskiana) fue la primera geometría no euclídea que se descubrió, donde los ángulos de un triángulo suman menos que 180º (recordemos que éstos siempre suman 180º en la geometría Euclídea), como puede verse en la siguiente imagen:
El lector sabrá ver el problema: ¡esto no son triángulos! De hecho, ¡ni siquiera sus lados son "rectos"! Efectivamente, no son triángulos euclídeos y, como nuestro espacio, localmente (volveré a esto más tarde), es euclídeo, ¡no hay manera de representar esta geometría! Lo que sucede es algo bastante notable: el concepto de distancia y, por lo tanto, el concepto de recta ha cambiado con el paso a una geometría no euclídea. Una recta euclídea era una sucesión de puntos en cierta dirección. Si conseguimos deshacernos de este concepto de recta y solamente tener en cuenta que "la distancia mínima entre dos puntos viene dada por una línea recta", nos encontramos que los nuevos triángulos que hemos creado, en las geometrías no euclídeas, dado a que el concepto de distancia ha cambiado, éstos son, efectivamente, triángulos. Aunque sus ángulos no sumen 180º.
Hay otro hecho derivado de todo esto realmente importante. En un espacio euclídeo, como el nuestro, no tenemos ningún patrón para decir si algo es "grande" o "pequeño". Es decir, el concepto de medida es algo absolutamente subjetivo que se hace por el mero acto de comparar una magnitud con otra. Es decir, dada una magnitud, no podemos saber si esta es "grande" o "pequeña" si no es que la comparamos con algo, aunque sea con nuestra propia estatura. Esto no sucede, por ejemplo, con los ángulos: pi es la base de todos los ángulos y no hay discusión. Habrán ángulos más pequeños que otros, pero cualquier observador podrá determinar la "magnitud" de un ángulo dado aún sin tenerlo que comparar con absolutamente ningún otro ángulo. Lo mismo sucede con las longitudes en un espacio hiperbólico: tenemos otro criterio totalmente objetivo y libre para catalogar una magnitud. Este notable hecho indujo a Gauss a pensar que el espacio, el universo donde vivimos no sea euclídeo, sino que posea una estructura hiperbólica. El olfato de este hombre era increíble.
Unos cien años más tarde, Einstein y su relatividad general (quizá también hable algún día sobre ella) confirmaban que, efectivamente, el universo posee una estructura no-euclídea a grandes escalas y una estructura euclídea local, que es la que nosotros percibimos y que nos ha llevado a creer, erróneamente, que todos los triángulos suman 180º y que todas las líneas "rectas" eran rectas.
Y es que estas pequeñas pinceladas sobre este apasionante pedacito de historia es una de las muestras más bellas e inquietantes del pensamiento humano: una idea sorprendente que, milenios más tarde, es puesta en duda en contra del sentido común y que, finalmente, desemboca en una concepción del universo totalmente inesperada y sorprendente. Y es que la belleza de todo recae en ello: ideas simples y sencillas, al alcance de la comprensión de todo el mundo, que tienen implicaciones fuertes sobre la naturaleza misma del universo en el que habitamos. Y es que uno, cuando llega a este punto, solo puede sonreír y pensar en lo maravilloso que debe ser todo lo que aún queda por ver.
lunes, 13 de agosto de 2007
No place to hide
Tengo el placer de presentaros un vídeo que ha hecho un amigo mío (¡también tiene blog!) que... bueno, mezcla imágenes de trailers de MGS4 con Arcade Fire, lo que significa que el resultado es así de brutal:
Pone los pelos de punta, la verdad.
Aprovechando, pongo también aquí un vídeo que hice yo mismo hará ya dos o tres años (¡como pasa el tiempo!) mezclando esta vez imágenes de HL2 con el indescriptible main theme de Réquiem por un sueño, aunque reescrito por Clint Mansell para darle un toque más épico. El resultado, creo que bastante bueno, la verdad :P Juzgad vosotros mismos:
domingo, 12 de agosto de 2007
¡Terremoto en Madrid!
Veo que ha habido un seísmo en Madrid y, aunque hay gente que ha afirmado que "la casa se le venía abajo" o que "cosas como esta te hacen ver los frágiles que somos", la verdad es que el terremoto ha significado un 4,7 en la escala de Richter (aunque es bastante grande para tratarse de una zona tranquila como Madrid. Si miráis la página 35905 de este texto vereís como las zonas más activas son Granada, norte de Murcia y Girona). Aprovechando la ocasión, vamos a hablar de ella.
Una escala en la que se representa el logaritmo de la magnitud en lugar de la magnitud en sí misma se llama escala logarítmica. Hay una diferencia escencial entre esto y la escala normal que todos conocemos, y es que en una escala logarítmica, de alguna forma el 3 y el 4 están más distantes que el 2 y el 3. Vamos a ver cómo es eso.
Recordemos que el logaritmo es la inversa de la "potenciación", es decir, x=bn implica que n=logb x (n es el logaritmo de x en base b). Así, la potencia vuelve a ser la inversa del logaritmo, así que si queremos ver la magnitud que se le asigna a un cierto valor de la escala logarítmica, no tenemos más que elevar la base de la escala a esa potencia. Y como x=bn, para n>1 crece cada vez más y más rápido (derivadas, ¿os acordáis de ellas?), vemos que, efectivamente, la diferencia entre las magnitudes correspondientes a los valores n y n+1 de la escala será mayor que la diferencia entre las marcadas con n-1 y n.
Pues bien, la escala de Richter es, en escencia, una escala logarítmica de base decimal. Esto quiere decir que el terremoto de Madrid de esta mañana, clasificado como un 4,7 en dicha escala, no es "un poco" más flojo que un terremoto realmente serio (7 para arriba), sino que de hecho, bastante más débil (de hecho, libera 1000 veces menos energía y tiene la amplitud de las ondas unas 100 veces menor).
El logaritmo de la escala es fruto de una ecuación diferencial. Además, este hecho afecta a muchísimas áreas, de manera que hay muchísimas escalas por todos conocidos que realmente siguen esta distribución logarítmica, la más famosa de ellas la escala de los decibelios (dB). Otra vez, ¿no os habéis preguntado nunca porqué 40dB equivalen a una conversación en voz baja y 80dB a una taladradora? La respuesta es, otra vez, en que es una escala logarítmica.
Hay algo curioso en todo esto que no voy a desvelar porque la verdad es que no sé porque és así: pasa algo curioso con el doceavo nivel de la escala. Un terremoto de escala 12 de Richter partiría la Tierra por la mitad (los mayores terremotos registrados son el Terremoto del Océano Índico, 2004 y el Gran Terremoto de Alaska, 1964, de 9,3 y 9,0 en la escala de Richter respectivamente), y 120dB es el ímite del oído humano. Y en otras escalas de otras magnitudes vuelve a aparecer el 12 como límite. Es algo curioso que realmente no sé porqué es así, ya que lo único que se le imponen a estas escalas es que la "percepción nula" o la ausencia de la magnitud sea el valor 0, para evitar valores negativos. Es algo realmente curioso. Quizá hay alguna demostración matemática de porqué esto es así, pero desde mi mágica visión de las cosas, ¿podría ser que la percepción humana con el entorno estuviera más ligada con una escala logarítmica que con la escala que todos conocemos? Intentaré traeros la respuesta próximamente.
Espero haber sido claro con las explicaciónes, no haber metido mucha la pata (¡si lo hago hacédmelo saber, se agradecerá!) y que os haya parecido interesante. Hasta otra.
Una escala en la que se representa el logaritmo de la magnitud en lugar de la magnitud en sí misma se llama escala logarítmica. Hay una diferencia escencial entre esto y la escala normal que todos conocemos, y es que en una escala logarítmica, de alguna forma el 3 y el 4 están más distantes que el 2 y el 3. Vamos a ver cómo es eso.
Recordemos que el logaritmo es la inversa de la "potenciación", es decir, x=bn implica que n=logb x (n es el logaritmo de x en base b). Así, la potencia vuelve a ser la inversa del logaritmo, así que si queremos ver la magnitud que se le asigna a un cierto valor de la escala logarítmica, no tenemos más que elevar la base de la escala a esa potencia. Y como x=bn, para n>1 crece cada vez más y más rápido (derivadas, ¿os acordáis de ellas?), vemos que, efectivamente, la diferencia entre las magnitudes correspondientes a los valores n y n+1 de la escala será mayor que la diferencia entre las marcadas con n-1 y n.
Pues bien, la escala de Richter es, en escencia, una escala logarítmica de base decimal. Esto quiere decir que el terremoto de Madrid de esta mañana, clasificado como un 4,7 en dicha escala, no es "un poco" más flojo que un terremoto realmente serio (7 para arriba), sino que de hecho, bastante más débil (de hecho, libera 1000 veces menos energía y tiene la amplitud de las ondas unas 100 veces menor).
El logaritmo de la escala es fruto de una ecuación diferencial. Además, este hecho afecta a muchísimas áreas, de manera que hay muchísimas escalas por todos conocidos que realmente siguen esta distribución logarítmica, la más famosa de ellas la escala de los decibelios (dB). Otra vez, ¿no os habéis preguntado nunca porqué 40dB equivalen a una conversación en voz baja y 80dB a una taladradora? La respuesta es, otra vez, en que es una escala logarítmica.
Hay algo curioso en todo esto que no voy a desvelar porque la verdad es que no sé porque és así: pasa algo curioso con el doceavo nivel de la escala. Un terremoto de escala 12 de Richter partiría la Tierra por la mitad (los mayores terremotos registrados son el Terremoto del Océano Índico, 2004 y el Gran Terremoto de Alaska, 1964, de 9,3 y 9,0 en la escala de Richter respectivamente), y 120dB es el ímite del oído humano. Y en otras escalas de otras magnitudes vuelve a aparecer el 12 como límite. Es algo curioso que realmente no sé porqué es así, ya que lo único que se le imponen a estas escalas es que la "percepción nula" o la ausencia de la magnitud sea el valor 0, para evitar valores negativos. Es algo realmente curioso. Quizá hay alguna demostración matemática de porqué esto es así, pero desde mi mágica visión de las cosas, ¿podría ser que la percepción humana con el entorno estuviera más ligada con una escala logarítmica que con la escala que todos conocemos? Intentaré traeros la respuesta próximamente.
Espero haber sido claro con las explicaciónes, no haber metido mucha la pata (¡si lo hago hacédmelo saber, se agradecerá!) y que os haya parecido interesante. Hasta otra.
jueves, 9 de agosto de 2007
¡Acabemos con "los nintendos"!
Lo siento por el que esperaba que el blog continuara con el aire trascendental, pero me han enseñado esto y no puedo parar de reírme.
Jojoj. Lo mejor es que en el Times se ve claramente que pone "TV cartoon", nada de videojuegos... pero en fin, este tipo es la risa. ¡Ni Gila ni Monty Python ni Eugenio, Josue Yrion al poder! Vamos, no puede ser que se crea lo que dice.
Nah, prometo que la próxima entrada sí será interesante.
Jojoj. Lo mejor es que en el Times se ve claramente que pone "TV cartoon", nada de videojuegos... pero en fin, este tipo es la risa. ¡Ni Gila ni Monty Python ni Eugenio, Josue Yrion al poder! Vamos, no puede ser que se crea lo que dice.
Nah, prometo que la próxima entrada sí será interesante.
lunes, 6 de agosto de 2007
¡No iba a ser menos!
Como esto de crear blogs está de moda y todo Dios tiene uno, he pensado que tener un lugar dónde poner Cosas Interesantes para que quizá, muy quizá, alguien lo lea, no estaría mal.
Aún no sé realmente qué podré aquí, supongo que curiosidades y artículos de matemáticas y física en su mayoría, quizá también recomendaciones de libros y música... incluso quizá algo sobre ajedrez, lo que a buen seguro alegraría a uno que yo me sé. Ya veremos.
Para estrenar esta primera entrada al blog, os dejo con este enlace que encontré hace poco donde se desarrolla la conocida fórmula del Teorema de los Números primos, que en pocas palabras, afirma que la "densidad" de números primos entre el cero y x se solapa con la inversa del logaritmo natural de x para valores grandes de x. De hecho no se sabe porqué es así, y de hecho, nada indica que tuviese que ser así. De hecho, el inmenso protagonismo del número e (2,71828182845904523...) en tantísimas áreas de las matemáticas es un profundo misterio.
Con teoremas como este de los números primos, uno realmente empatiza con Bertand Russell cuando dijo lo de "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty".
Y bien, hasta aquí la primera entrada. Espero que el blog acabe haciendo honor a su título y realmente pueda publicar algo original e interesante. Espero también que esta no sea la última entrada, cosa bastante probable por otro lado.
Aún no sé realmente qué podré aquí, supongo que curiosidades y artículos de matemáticas y física en su mayoría, quizá también recomendaciones de libros y música... incluso quizá algo sobre ajedrez, lo que a buen seguro alegraría a uno que yo me sé. Ya veremos.
Para estrenar esta primera entrada al blog, os dejo con este enlace que encontré hace poco donde se desarrolla la conocida fórmula del Teorema de los Números primos, que en pocas palabras, afirma que la "densidad" de números primos entre el cero y x se solapa con la inversa del logaritmo natural de x para valores grandes de x. De hecho no se sabe porqué es así, y de hecho, nada indica que tuviese que ser así. De hecho, el inmenso protagonismo del número e (2,71828182845904523...) en tantísimas áreas de las matemáticas es un profundo misterio.
Con teoremas como este de los números primos, uno realmente empatiza con Bertand Russell cuando dijo lo de "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty".
Y bien, hasta aquí la primera entrada. Espero que el blog acabe haciendo honor a su título y realmente pueda publicar algo original e interesante. Espero también que esta no sea la última entrada, cosa bastante probable por otro lado.
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