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En mecánica teórica, la "variable" de acción se define como $J\equiv\oint p_k(q_k,\vec{\alpha})dq_k$, evaluada sobre el ciclo cerrado (o de todo un período) de la curva de la trayectoaria fásica sobre el plano $q_kp_k$.

La cosa interesante es que estas $J_k$ tienen algunas propiedades muy interesantes cuando el sistema es periódico, y una de ellas es que $\frac{\partial H}{\partial J_k}=\nu_k$ és constante y se puede demostrar que es la frecuencia de la coordenada $q_k$, y su inverso es el período $T_k$.

Dicho esto, lo interesante es ver un ejemplo: el oscilador harmónico. El hamiltoniano del sistema es $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kq^2=E$ ya que el sistema es conservativo. Podemos aislar p de la expresión e igualarla a cero para ver los puntos de retroceso, que nos dan $q_{1,2}=\pm\sqrt\frac{2E}{k}$. Ahora ya podemos calcular la variable de acción del sistema, $J=\oint pdq=...=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}E$, pero fijemonos que $2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ es el conocido período del sistema, así que $E=J/T$, o lo que es lo mismo, $E=J\nu$. ¿No nos suena de nada, esto?

Si volvemos al principio vemos que J no es más que el área encerrada por la curva en el espacio de fases de coordenadas p y q. Si pensamos ahora en la mecánica cuántica, el principio de Heisenberg pone un límite a esta zona, y ese es h. Por lo tanto, J tiene que ser un múltiplo de h... la magia de todo el asunto es que si volvemos donde nos habíamos quedado con el oscilador armónico, $E=J\nu$ se convierte en $E=h\nu$, la energia de un fotón en el modelo de Planck del cuerpo negro basado en osciladores.


Por cosas como esta estoy en física. Porque, hablando en plata, lo flipo un mogollón cuando veo lo conectado que está todo, o cuando, después de estar sumergido en ya no sé dónde, todo empieza a cuadrar y uno rescata respuestas que más o menos sabía, pero es que las ha sacado desde lo más profundo de la realidad, y eso es impagable.

Por cierto, todo esto es un poco para probar -y fardar de- el , que como podéis ver he podido implementar =). Si alguien tiene un blog y quiere ponerlo, pegad esto

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